Sumatoria: se denomina sumatoria de una sucesion An1, a la forma abreviada a escribir sus terminos expresados como sumandos.
bueno aca no se puede poner las formulas de sumatorias asi q les entrego vinculos de páginas que los ayudaran en la materia denominada para este semestre:
http://www.google.cl/search?hl=es&q=sumatorias&meta=
http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml
http://es.wikipedia.org/wiki/Sumatoria
todas son fuentes confiable ;D
no se preocupen si hay algun problema o duda, me preguntan no mas :D
Que les vaia bien, Att.
ChanG.
visiten mi flog: http://www.fotolog.com/ital_91
sábado, 5 de julio de 2008
jueves, 24 de abril de 2008
TEMARIO DE MATEMÁTICA PARA ALUMNOS NUEVOS POSTULANTES A:
4° Básico
Números hasta 990.000
Operatoria y problemas de aplicación, secuencia, descomposición
Sistema monetario
5° Básico
Fracciones, operatoria y aplicación a problemas
Medidas de tiempo, longitud
Aproximaciones
6° Básico
Lectura y escritura de números
Descomposición de números
4 operaciones y aplicaciones en problemas
Ejercicios combinados
7° Básico
Transformaciones numéricas: números, hora, pesos y dólares
Fracciones: Fracción de un número, equivalencia, operatoria
8° Básico
Operatoria con números naturales, fracciones y decimales
Proporciones
Geometría: Ángulos en el triángulo
1° Medio
Operatoria con números enteros
Proporciones
Geometría: Ángulos entre paralelas
2° Medio
Potencias
Álgebra: Operatoria básica
Resolución ecuaciones de primer grado
Proporciones
Transformaciones isométricas
3° Medio
Álgebra: Operatoria fracciones algebraicas, factorización y simplificación, ecuaciones de la recta, aplicaciones ángulos en la circunferencia
4° Medio
Raíces
Ecuaciones de segundo grado
teoremas de Pitágoras y Euclides
Función cuadrática
Inecuaciones
PD: para mas info http://www.colegio-centenario.cl/temario-postulantes/temario-matematica.html
4° Básico
Números hasta 990.000
Operatoria y problemas de aplicación, secuencia, descomposición
Sistema monetario
5° Básico
Fracciones, operatoria y aplicación a problemas
Medidas de tiempo, longitud
Aproximaciones
6° Básico
Lectura y escritura de números
Descomposición de números
4 operaciones y aplicaciones en problemas
Ejercicios combinados
7° Básico
Transformaciones numéricas: números, hora, pesos y dólares
Fracciones: Fracción de un número, equivalencia, operatoria
8° Básico
Operatoria con números naturales, fracciones y decimales
Proporciones
Geometría: Ángulos en el triángulo
1° Medio
Operatoria con números enteros
Proporciones
Geometría: Ángulos entre paralelas
2° Medio
Potencias
Álgebra: Operatoria básica
Resolución ecuaciones de primer grado
Proporciones
Transformaciones isométricas
3° Medio
Álgebra: Operatoria fracciones algebraicas, factorización y simplificación, ecuaciones de la recta, aplicaciones ángulos en la circunferencia
4° Medio
Raíces
Ecuaciones de segundo grado
teoremas de Pitágoras y Euclides
Función cuadrática
Inecuaciones
PD: para mas info http://www.colegio-centenario.cl/temario-postulantes/temario-matematica.html
viernes, 18 de abril de 2008
Fue un célebre matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen probablemente caldeo.
Tabla de contenidos
1 Biografía
2 Esfera armilar
3 Medición de las dimensiones de la Tierra
4 Sobre Geometría y Geografía
5 Otros trabajos
6 Referencias
7 Enlaces externos
Biografía
Nacido en Cirene, era hijo de Aglaos, según Suidas, o de Ambrosio según otros escritores. Estudió en Alejandría y, durante algún tiempo, en Atenas y fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y gran amigo de Arquímedes. En 236 adC Ptolomeo Evergetes le llamó a Egipto para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días, ocurrido durante el gobierno de Ptolomeo Epífanes. Suidas afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de ochenta años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a la edad de ochenta y dos, y Censorino sostiene que falleció cuando contaba ochenta y uno.
Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, fue apellidado Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón, y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta (por β, la segunda letra del alfabeto griego), porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.
Esfera armilar
A Eratóstenes se le atribuye la invención, hacia 255 adC, de la esfera armilar que aún se empleaba en el siglo XVII. Aunque debió de usar este instrumento para diversas observaciones astronómicas, sólo queda constancia de la que le condujo a la determinación de la oblicuidad de la eclíptica. Determinó que el intervalo entre los trópicos (el doble de la oblicuidad de la eclíptica) equivalía a los 11/83 de la circunferencia terrestre completa, resultando para dicha oblicuidad 23º 51' 19", cifra que posteriormente adoptaría el astrónomo Claudio Ptolomeo.
Según algunos historiadores, Eratóstenes obtuvo un valor de 24º, debiéndose el refinamiento del resultado hasta 11/83 al propio Ptolomeo. Además, según Plutarco, de sus observaciones astronómicas durante los eclipses dedujo que la distancia al Sol era de 804.000.000 estadios, la distancia a la Luna 780.000 estadios y, según Macrobio, que el diámetro del Sol era 27 veces mayor que el de la Tierra. Realmente el diámetro del Sol es 109 veces el de la Tierra y la distancia a la Luna es casi tres veces la calculada por Eratóstenes, pero el cálculo de la distancia al Sol, admitiendo que el estadio empleado fuera de 185 metros, fue de 148.752.060 km, muy similar a la unidad astronómica actual. A pesar de que se le atribuye frecuentemente la obra Katasterismoi que contiene la nomenclatura de 44 constelaciones y 675 estrellas, los críticos niegan que fuera escrita por él, por lo que usualmente se designa como Pseudo-Eratóstenes a su autor.
Medición de las dimensiones de la Tierra
En el solsticio de verano los rayos solares inciden perpendicularmente sobre Siena. En Alejandría, más al norte, midiendo la altura de un edificio y la longitud de la sombra que proyecta se puede determinar el ángulo formado con el plano de la eclíptica, en el que se encuentran el Sol y la ciudad de Siena, ángulo que es precisamente la diferencia de latitud entre ambas ciudades. Conocida ésta basta medir el arco de circunferencia y extrapolar el resultado a la circunferencia completa (360º).
Sin embargo, el principal motivo de su celebridad, es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico además de las nociones de latitud y longitud ya introducidas, al parecer por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico, y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría; según Cleomedes, para el cálculo de dicha cantidad Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (Un Proto-cuadrante solar) . Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.
Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio de 185 m, el error cometido fue de 6.616 kilómetros (alrededor del 17%), sin embargo hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 km, frente a los 40.008 km considerados en la actualidad, es decir, un error menor del 1%.
Acerca de la exactitud de los cálculos realizados por Eratóstenes se han escrito varios trabajos; en uno de ellos, Dennis Rawlins argumenta que el único dato que Eratóstenes obtuvo directamente fue la inclinación del cenit de Alejandría, con un error de 7' (7 minutos de arco), mientras que el resto, de fuentes desconocidas, resultan ser de una exactitud notablemente superior. 150 años más tarde, Posidonio rehizo el cálculo de Eratóstenes obteniendo una circunferencia sensiblemente menor, valor que adoptaría Ptolomeo y en el que se basaría Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente; quizá con las mediciones de Eratóstenes el viaje no se hubiera llegado a realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, y seguramente sea ése el error que más ha influido en la historia de la humanidad.
El geómetra no se limitó a hacer este cálculo, sino que también llegó a calcular la distancia Tierra-Sol en 804 millones de estadios (139.996.500 km) y la distancia Tierra-Luna en 708.000 estadios (123.280,500 km). Estos errores son admisibles, debido a la carencia de tecnología adecuada y precisa.
Sobre Geometría y Geografía
Sobre geometría conocemos por el título (pues ningún ejemplar ha sobrevivido hasta nuestros días), una obra suya citada por Pappus como uno de los grandes libros de geometría, De locis ad medietates. Se conserva también una carta a Ptolomeo Evergetes sobre la duplicación del cubo citada por Eutocio en su comentario a la obra de Arquímedes y contribuyó a la aritmética inventando un método conocido como la criba de Eratóstenes para determinar números primos que nos ha llegado a través de la Introducción a la Aritmética de Nicomedes.
También fue importante su contribución a la geografía, palabra de su invención, que antes de Dicearco, Eudoxio y el propio Eratóstenes constituía una amalgama de conocimientos dispersos en numerosas obras de viajeros y cronistas. Eratóstenes supo recoger todos estos tesoros que se encontraban en la Biblioteca de Alejandría, conocimientos procedentes en su mayoría de las conquistas de Alejandro Magno, para componer una obra sistemática titulada Geographika, dividida en tres volúmenes: el primero pasaba revista crítica a sus predecesores y exponía las investigaciones acerca de la forma de la Tierra, que él creía una esfera inmóvil; el segundo contenía lo que hoy se llama geografía física, incluyendo el ensayo acerca del tamaño de la Tierra antes comentado; y el último libro versaba sobre geografía política y en el se incluían las descripciones de las comarcas conocidas tomadas de los relatos de viajeros y geógrafos precedentes. Tal como hiciera Dicearco antes, para situar las ciudades tiró una línea paralela al ecuador desde las columnas de Hércules (estrecho de Gibraltar) hasta el extremo oriental de Asia, dividiendo las tierras habitadas en dos partes, y trazó el meridiano por Alejandría y Siena. La obra, según parece, contenía un mapa en el que se indicaban las ciudades y accidentes geográficos, ríos, montañas, lagos, etc. Esta obra no está exenta de polémica ya que Marciano acusó a Eratóstenes de haber plagiado el tratado de Timóstenes Sobre los puertos, lo que desmiente Estrabón cuando afirma que si bien Eratóstenes concedía gran valor a la obra de Timóstenes, en no pocas ocasiones no compartía sus opiniones. Los fragmentos entonces disponibles fueron recopilados y publicados con el título Eratosthenica por Gottfried Bernhardy (Berlín, 1822) junto con otras obras de Eratóstenes.
Otros trabajos . La obra poética de Eratóstenes comprende dos obras Erigone, elogiada repetidamente por Longino, y Hermes, la más conocida, poema de asunto astronómico y geográfico que trata de la forma de la Tierra, de su temperatura, de los diferentes climas y de las constelaciones. Escribió varios tratados sobre filosofía moral y se le atribuyen, sin certeza, otras obras filosóficas. Sus producciones históricas estuvieron ligadas íntimamente a las matemáticas, siendo su obra más importante en esta disciplina la Cronografía, obra en la que recoge las fechas de los acontecimientos literarios y políticos más importantes; se cree que Las Olimpiadas, citadas por Diógenes Laercio y Ateneo, formaban parte de la Cronografía. También escribió un tratado Sobre la antigua comedia ática, del que son fragmentos Arjitectonicos y Skenographicos en los que trató de la decoración, el vestuario, la declamación y el argumento de obras de Aristófanes y Cratino entre otros. También estudió la obra de Homero y escribió una biografía sobre la vida del poeta que no ha llegado hasta nuestros días. En la citada Eratosthenica, Bernhardy compiló la lista de todas las obras atribuidas a Eratóstenes, así como los fragmentos de sus escritos entonces conocidos exceptuando Katasterismoi.
Un cráter de la Luna rinde homenaje a Eratóstenes, llevando su nombre.
Inventó el primer reloj solar moderno, al que denominó Skaphe.
Tabla de contenidos
1 Biografía
2 Esfera armilar
3 Medición de las dimensiones de la Tierra
4 Sobre Geometría y Geografía
5 Otros trabajos
6 Referencias
7 Enlaces externos
Biografía
Nacido en Cirene, era hijo de Aglaos, según Suidas, o de Ambrosio según otros escritores. Estudió en Alejandría y, durante algún tiempo, en Atenas y fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y gran amigo de Arquímedes. En 236 adC Ptolomeo Evergetes le llamó a Egipto para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días, ocurrido durante el gobierno de Ptolomeo Epífanes. Suidas afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de ochenta años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a la edad de ochenta y dos, y Censorino sostiene que falleció cuando contaba ochenta y uno.
Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, fue apellidado Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón, y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta (por β, la segunda letra del alfabeto griego), porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.
Esfera armilar
A Eratóstenes se le atribuye la invención, hacia 255 adC, de la esfera armilar que aún se empleaba en el siglo XVII. Aunque debió de usar este instrumento para diversas observaciones astronómicas, sólo queda constancia de la que le condujo a la determinación de la oblicuidad de la eclíptica. Determinó que el intervalo entre los trópicos (el doble de la oblicuidad de la eclíptica) equivalía a los 11/83 de la circunferencia terrestre completa, resultando para dicha oblicuidad 23º 51' 19", cifra que posteriormente adoptaría el astrónomo Claudio Ptolomeo.
Según algunos historiadores, Eratóstenes obtuvo un valor de 24º, debiéndose el refinamiento del resultado hasta 11/83 al propio Ptolomeo. Además, según Plutarco, de sus observaciones astronómicas durante los eclipses dedujo que la distancia al Sol era de 804.000.000 estadios, la distancia a la Luna 780.000 estadios y, según Macrobio, que el diámetro del Sol era 27 veces mayor que el de la Tierra. Realmente el diámetro del Sol es 109 veces el de la Tierra y la distancia a la Luna es casi tres veces la calculada por Eratóstenes, pero el cálculo de la distancia al Sol, admitiendo que el estadio empleado fuera de 185 metros, fue de 148.752.060 km, muy similar a la unidad astronómica actual. A pesar de que se le atribuye frecuentemente la obra Katasterismoi que contiene la nomenclatura de 44 constelaciones y 675 estrellas, los críticos niegan que fuera escrita por él, por lo que usualmente se designa como Pseudo-Eratóstenes a su autor.
Medición de las dimensiones de la Tierra
En el solsticio de verano los rayos solares inciden perpendicularmente sobre Siena. En Alejandría, más al norte, midiendo la altura de un edificio y la longitud de la sombra que proyecta se puede determinar el ángulo formado con el plano de la eclíptica, en el que se encuentran el Sol y la ciudad de Siena, ángulo que es precisamente la diferencia de latitud entre ambas ciudades. Conocida ésta basta medir el arco de circunferencia y extrapolar el resultado a la circunferencia completa (360º).
Sin embargo, el principal motivo de su celebridad, es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico además de las nociones de latitud y longitud ya introducidas, al parecer por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico, y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría; según Cleomedes, para el cálculo de dicha cantidad Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (Un Proto-cuadrante solar) . Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.
Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio de 185 m, el error cometido fue de 6.616 kilómetros (alrededor del 17%), sin embargo hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 km, frente a los 40.008 km considerados en la actualidad, es decir, un error menor del 1%.
Acerca de la exactitud de los cálculos realizados por Eratóstenes se han escrito varios trabajos; en uno de ellos, Dennis Rawlins argumenta que el único dato que Eratóstenes obtuvo directamente fue la inclinación del cenit de Alejandría, con un error de 7' (7 minutos de arco), mientras que el resto, de fuentes desconocidas, resultan ser de una exactitud notablemente superior. 150 años más tarde, Posidonio rehizo el cálculo de Eratóstenes obteniendo una circunferencia sensiblemente menor, valor que adoptaría Ptolomeo y en el que se basaría Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente; quizá con las mediciones de Eratóstenes el viaje no se hubiera llegado a realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, y seguramente sea ése el error que más ha influido en la historia de la humanidad.
El geómetra no se limitó a hacer este cálculo, sino que también llegó a calcular la distancia Tierra-Sol en 804 millones de estadios (139.996.500 km) y la distancia Tierra-Luna en 708.000 estadios (123.280,500 km). Estos errores son admisibles, debido a la carencia de tecnología adecuada y precisa.
Sobre Geometría y Geografía
Sobre geometría conocemos por el título (pues ningún ejemplar ha sobrevivido hasta nuestros días), una obra suya citada por Pappus como uno de los grandes libros de geometría, De locis ad medietates. Se conserva también una carta a Ptolomeo Evergetes sobre la duplicación del cubo citada por Eutocio en su comentario a la obra de Arquímedes y contribuyó a la aritmética inventando un método conocido como la criba de Eratóstenes para determinar números primos que nos ha llegado a través de la Introducción a la Aritmética de Nicomedes.
También fue importante su contribución a la geografía, palabra de su invención, que antes de Dicearco, Eudoxio y el propio Eratóstenes constituía una amalgama de conocimientos dispersos en numerosas obras de viajeros y cronistas. Eratóstenes supo recoger todos estos tesoros que se encontraban en la Biblioteca de Alejandría, conocimientos procedentes en su mayoría de las conquistas de Alejandro Magno, para componer una obra sistemática titulada Geographika, dividida en tres volúmenes: el primero pasaba revista crítica a sus predecesores y exponía las investigaciones acerca de la forma de la Tierra, que él creía una esfera inmóvil; el segundo contenía lo que hoy se llama geografía física, incluyendo el ensayo acerca del tamaño de la Tierra antes comentado; y el último libro versaba sobre geografía política y en el se incluían las descripciones de las comarcas conocidas tomadas de los relatos de viajeros y geógrafos precedentes. Tal como hiciera Dicearco antes, para situar las ciudades tiró una línea paralela al ecuador desde las columnas de Hércules (estrecho de Gibraltar) hasta el extremo oriental de Asia, dividiendo las tierras habitadas en dos partes, y trazó el meridiano por Alejandría y Siena. La obra, según parece, contenía un mapa en el que se indicaban las ciudades y accidentes geográficos, ríos, montañas, lagos, etc. Esta obra no está exenta de polémica ya que Marciano acusó a Eratóstenes de haber plagiado el tratado de Timóstenes Sobre los puertos, lo que desmiente Estrabón cuando afirma que si bien Eratóstenes concedía gran valor a la obra de Timóstenes, en no pocas ocasiones no compartía sus opiniones. Los fragmentos entonces disponibles fueron recopilados y publicados con el título Eratosthenica por Gottfried Bernhardy (Berlín, 1822) junto con otras obras de Eratóstenes.
Otros trabajos . La obra poética de Eratóstenes comprende dos obras Erigone, elogiada repetidamente por Longino, y Hermes, la más conocida, poema de asunto astronómico y geográfico que trata de la forma de la Tierra, de su temperatura, de los diferentes climas y de las constelaciones. Escribió varios tratados sobre filosofía moral y se le atribuyen, sin certeza, otras obras filosóficas. Sus producciones históricas estuvieron ligadas íntimamente a las matemáticas, siendo su obra más importante en esta disciplina la Cronografía, obra en la que recoge las fechas de los acontecimientos literarios y políticos más importantes; se cree que Las Olimpiadas, citadas por Diógenes Laercio y Ateneo, formaban parte de la Cronografía. También escribió un tratado Sobre la antigua comedia ática, del que son fragmentos Arjitectonicos y Skenographicos en los que trató de la decoración, el vestuario, la declamación y el argumento de obras de Aristófanes y Cratino entre otros. También estudió la obra de Homero y escribió una biografía sobre la vida del poeta que no ha llegado hasta nuestros días. En la citada Eratosthenica, Bernhardy compiló la lista de todas las obras atribuidas a Eratóstenes, así como los fragmentos de sus escritos entonces conocidos exceptuando Katasterismoi.
Un cráter de la Luna rinde homenaje a Eratóstenes, llevando su nombre.
Inventó el primer reloj solar moderno, al que denominó Skaphe.
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